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从实数的构建出发，一窥微积分的基石。

参考： Youtube->万门好课——《五分钟数学漫谈》。 Youtube->[高等微積分] 第1講、數學的本質 - YouTube 知乎——胖三sir的专栏《初中数学那些事》 CSDN——(44条消息) 希尔伯特及其《几何学基础》电子版（英文PDF），_袁萌专栏-CSDN博客 数学的开始相传，古希腊数学家泰勒斯引入了划时代的几何证明思想。数学家们开始不再满足于知其然了，而致力于知其所以然。通过公理或已证明命题(定理)推理出新的定理，在各定理之间建立起了联系，使数学逐步形成了一个严密的体系。 物理和数学物理的研究对象是真实世界中的东西或者说对象，研究其属性或行为。如一只猫的叫声，捕食；形状，颜色，长度，速度，重量等等。研究手段是简单化和理想化(如一个苹果，变成纸上的一个点)的真实对象——逻辑对象。逻辑对象有人为规定的一些属性。人的一切知识都是由已知的经验产生的。 数学研究逻辑世界中的东西，是物理学的研究手段，如符号，公理，推导规则，推论形成公理体系。逻辑世界是简单化和理想化后的真实世界。 几何一词的由来，目的和发展几何：长宽几何？面积几何？ 代数：以符号代数，求数。 英文G ...

根号2，无穷小，理发师

参考李永乐的视频 勾股定理直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 在中国，《周髀算经》给出了结论。三国时期吴国的赵爽在《周髀算经注》中给出了证明。 在古希腊，毕达哥拉斯提出了这个定理，但是证明失传了。欧几里得在《几何原本》中给出了证明，现在所学的几何内容与《几何原本》几乎一样。 三国时期吴国赵爽的证明勾股圆方图：勾股各自乘，并之，为弦实，开方除之为弦。 爱因斯坦十一岁时的证明一个直角三角线，可以分割成2个与原直角三角形相似的直角三角形。 相似图形的面积之比等于边长的平方比 故S1+S2=S3即a^2+b^2=c^2 拓展勾股定理将几何和代数联系在一起。 1几何问题：直角三角形的三条边的边长都是正整数，能画出多少种？ 等价于代数问题：满足a^2+b^2=c^2的正整数组(a,b,c)有多少组呢？ 答：无穷组，因为(3n)^2 + (4n)^2 = (5n)^2 2那符合上述条件的互素正整数数组有多少组？ 【To Do】x^2+y^2=z^2的正整数解通式：x=2mn，y=m^2-n^2，z=m^2+n^2，m＞n＞0，mn互素且一奇一偶。 公元两百多年的代数之父丢番图曾经写过 ...

参考妈咪说、李永乐的视频 无论圆的直径是多长，圆的周长比直径似乎都是一个定值，称其为圆周率π 圆面积先把一个圆平均分成若干份，然后将其拼成近似的长方形，最后根据长方形与圆的关系推导出圆的面积公式为πr^2 角度两条直线的夹角，有大有小，用角度来衡量夹角大小。 设定全角为360°，全角的1/360为1°，1°的1/60是1‘，1’的1/60是1’‘。 弧度欧拉，把长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度。 sin，cos从某个角度推一个箱子，力可以被分解为水平和垂直两个方向，其数值符合直角三角形的勾股数。直观感觉：sin，cos是用来分解力的工具。sin公式告诉你水平方向的分力与合力的比值，cos告诉你竖直方向的分力与合力的比值。 希望你看到公式能立刻想到 sinθ 是y方向的分解作用，5sinθ表示将合力5分解到y方向 cosθ 是x方向的分解作用，5cosθ表示将合力5分解到x方向 tanθ=sinθ/cosθ，是y方向分力与x方向分力的比值 和差角公式巧妙的证明一 严谨的证明二首先给出余弦定律 通过边长的两种求法，得出cos(α-β) 我们可以观察到cos(-α)=co ...

线性代数线性代数解决线性问题，把复杂问题线性化是别的学科的内容，比如《微积分》、《信号与系统》。 线性变换线性变换从几何直观有三个要点： 变换前是直线的，变换后依然是直线的 直线比例保持不变 变换前中心是原点的，变换后依然是原点 比如说旋转： 比如说推移： 推移+旋转也是线性变换： 代数简答讲一下旋转是怎么实现的，可以让我们进一步了解代数是怎么描述线性变换的。 仿射变换 变换前是直线的，变换后依然是直线 直线比例保持不变 少了原点保持不变这一条。 比如平移： 因此，平移不再是线性变化了，而是仿射变化 代数线性变换是通过矩阵乘法来实现的，仿射变换不能光通过矩阵乘法来实现，还得有加法。 通过矩阵乘法来完成仿射

参考马同学的众多知乎回答 导数积分的历史背景17世纪，当时很重要的问题是天文学问题，其中，开普勒三定律中的第二定律：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线扫过的面积都是相等的。 既然有计算不规则曲线面积的需求，那么数学家就得去研究，所谓积分就是求曲线下的面积(17世纪，英文中积分”quadrature”的含义就是求面积的意思)： 积分的思想 微积分：以直代曲，线性逼近 微分：无穷小量 从上图得出导数的定义，f’(x)=dy/dx, 而dx和dy被称为x和y的微分，都为无穷小量。所以导数也被莱布尼兹称为微商(微分之商) 无穷小量引发第二次数学危机 所以就切线的定义而言，微积分的基础是不牢靠的。 无穷小量的麻烦远不止这一些 基于极限重建微积分莱布尼兹、欧拉等人都认识到无穷小量导致的麻烦，一直想要修补。但是这个问题等到200年后，19世界极限的概念清晰之后才得到解决。 极限如何描述△x无限接近于0？ △x无限接近于0，但不能为0，否则以0为底边长的矩形面积为0，无穷多个0相加仍然为0. △x无限接近于0，但不可能是最小的正实数，因为没有最小的正实数（实数0的下一个实数是什么？没有。 ...

对于非抛硬币类的单个体活动，它们的活动结果非等可能（如养一条鱼的成活率，发送一个网络包的成功率）。而对于活动结果非等可能的单个体活动，何为一次活动某事件的概率？通过多样本试验得到概率，或通过单样本多次试验得到概率，由此虚构出一个单个体活动的结果空间。