导数
参考马同学的众多知乎回答
导数
积分的历史背景
17世纪，当时很重要的问题是天文学问题，其中，开普勒三定律中的第二定律：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线扫过的面积都是相等的。
既然有计算不规则曲线面积的需求，那么数学家就得去研究，所谓积分就是求曲线下的面积(17世纪，英文中积分”quadrature”的含义就是求面积的意思)：
积分的思想
微积分：以直代曲，线性逼近
微分：无穷小量
从上图得出导数的定义，f’(x)=dy/dx, 而dx和dy被称为x和y的微分，都为无穷小量。所以导数也被莱布尼兹称为微商(微分之商)
无穷小量引发第二次数学危机
所以就切线的定义而言，微积分的基础是不牢靠的。
无穷小量的麻烦远不止这一些
基于极限重建微积分
莱布尼兹、欧拉等人都认识到无穷小量导致的麻烦，一直想要修补。但是这个问题等到200年后，19世界极限的概念清晰之后才得到解决。
极限
如何描述△x无限接近于0？
△x无限接近于0，但不能为0，否则以0为底边长的矩形面积为0，无穷多个0相加仍然为0.
△x无限接近于0，但不可能是最小的正实数，因为没有最小的正实数（实数0的下一个实数是什么？没有。假设0的下一个实数是a，我们永远可以找到a/2比0大，比a小。）
现在都是用epsilon-delta语言来描述极限
可以看到，极限的描述并没有用到什么无穷小量
导数的极限定义
在点x0的去心邻域内，△x=x-x0，lim(x->x0)，即lim(△x->0)。0<△x<delta是一个小范围中某个极小的差值或者说增量。
如此定义了导数，可以去定义微分
dy=f’(x)△x，这是dy的定义。我们是在用函数dy(几何上的切线)逼近原函数。
导数
- 导数是速度、是加速度、是变化率、是切线的斜率。
- 导数是用来找到“线性近似的数学工具”
- 导数是线性变换
导数是速度、是加速度、是变化率、是切线的斜率
物理中的变化率
一段时间的平均速度是位移/一段时间
某一时间点的瞬时速度
速度vt1就是t1点附近，位移增加值△s与时间增加值△t的比值，称这个比值为变化率，描述了t1点附近，时间增加值对位移增加值的影响程度。
同理，加速度就是速度对于时间的变化率。
几何的斜率
但是
在二元函数中，比如这样一个曲面上的一点α
在曲面上可以做无数条过α点的曲线
每根曲线都可能有切线，那么哪根切线的斜率是导数？
从一元函数到二元函数
所以我们认为，导数是某一点处，因变量增加值与自变量增加值的比值。导数是瞬时速度，是加速度，是切线的斜率。
