参考李永乐的视频

勾股定理

直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方

在中国，《周髀算经》给出了结论。三国时期吴国的赵爽在《周髀算经注》中给出了证明。

在古希腊，毕达哥拉斯提出了这个定理，但是证明失传了。欧几里得在《几何原本》中给出了证明，现在所学的几何内容与《几何原本》几乎一样。

三国时期吴国赵爽的证明

勾股圆方图：勾股各自乘，并之，为弦实，开方除之为弦。

一个直角三角线，可以分割成2个与原直角三角形相似的直角三角形。

相似图形的面积之比等于边长的平方比

故S1+S2=S3即a^2+b^2=c^2

勾股定理将几何和代数联系在一起。

几何问题：直角三角形的三条边的边长都是正整数，能画出多少种？

等价于代数问题：满足a^2+b^2=c^2的正整数组(a,b,c)有多少组呢？

答：无穷组，因为(3n)^2 + (4n)^2 = (5n)^2

那符合上述条件的互素正整数数组有多少组？

【To Do】x^2+y^2=z^2的正整数解通式：x=2mn，y=m^2-n^2，z=m^2+n^2，m＞n＞0，mn互素且一奇一偶。

曾经写过一本书叫做《算术》，一个正整数的平方可否由另外两个正整数的平方和表示。

1621年法国巴黎有一位20岁的律师买了一本《算术》看。突发奇想，写下一个整数的三次方不能拆分成两个整数的三次方和，一个整数的四次方不能拆分成两个整数的四次方和，以此类推，地方太小，证明过程我就不写了。

欧拉只证明了费马的前两句话是对的。1995年数学家怀尔斯给出了全部证明。

三元组可以求二维直角坐标系中某点到原点的距离，四元组可以求三维直角坐标系中某点到原点的距离。

任意的一个正整数都可以写成不超过四个正整数的平方和

丢番图一笔带过没给证明；费马说地方太小证明写不了；欧拉的学生拉格朗日用欧拉的四平方恒等式在1770年证明了四平方和定理，因此四平方和定理也叫作拉格朗日四平方定理；三年后欧拉也独立给出了证明。

1770年，英国数学家华林提出猜想，存在一个正整数g(k)（k表示k次方，g(k)是关于k的函数，如g(2)=4）使得每个正整数可以表示为至多g(k)个k次方数之和。

1909年，希尔伯特证明了华林猜想是正确的，但仅仅证明了存在g(k)。1909年证明了g(3)=9，1986年g(4)=19，1964年我国数学家陈景润证明了g(5)=37，那年陈景润31岁。

欧拉的小儿子给出了一个经验公式 g(k)=2^k + [(3/2)^k] - 2（中括号表示向下取整）。人们通过计算机验证，发现大概在1亿以下都是正确的。目前人们还不知道为啥它长这样，也困扰数学家几百年了。

1916年印度神童拉马努金宣城他找到了所有的系数组合，只有这55组系数的平方数才能表示所有的正整数。其人自学成才，本职会计，33岁因病早逝，一生发现了3900多条数学公式和命题。

1993年英国数学家康威证明，康威发现拉姆努金给出的55组系数里，除了1、2、5、5不对，其他的54组都对，而且只有这54组。康威的这个证明叫15定理，因为他发现，所有系数的组合你任选一种，只要这个多项式能表示1-15之间的所有数，它就能表示所有的正整数。