参考台湾大学的微积分课程-陈金次教授

Youtube-Stepp学院

Youtube-冉哥 参考书《Principles of Mathematical Analysis》Third EDITION by Walter Rudin

Youtube-李永乐

知乎,百度

一、《Principles of Mathematical Analysis》Chapter1 结合冉哥视频

公理化数集,繁琐,严谨,但不直观,建议跳过。

集合

从习惯上的自然数、可比数及其加减乘除次方运算,发展到用集合定义数集,定义运算

集合,元素,常见数集

把你感兴趣的东西放在一起,被放到一起的东西叫element(元素),整体称为Set(集合)。

元素符合的条件:不重复,无顺序。

元素和集合的关系:元素∈(属于)或∉(不属于)一个集合。

集合和集合的关系:如果一个集合的元素,总是属于另一个集合,称该集合包含于另一个集合,若两集合不相同,则成该集合真包含于另一个集合。

常见的数集:

  • N 自然数集:0, 1, 2, 3, …
  • Z 整数集:…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …,在N的基础上增加负数
  • Q 可比数集:1, 1.1, 1.11, 1/2, 1.232323…, …
  • R 实数集:根号2,π,e,… 在Q的基础上增加不可比数

超越实际世界之处:集合的元素,可以是无穷多个的(没有确定的上界,总能找到更大的元素)

无尽:没有尽头,假设一个尽头,总能找到尽头之外的东西。

稠密:指定一个点,无法指定邻点,如果指定邻点,总能找到更近的邻点。

集合的运算

集合与另一个集合做运算,产生新的集合

Union(联合) AUB={a|a∈A or a∈B}

Intersection(相交) A∩B={a|a∈A and a∈B}

Complement(补) A-B={a|a∈A and a∉B}

集合的运算性质

集合的运算性质建立在逻辑运算(and or not)的运算性质上,逻辑运算的运算性质是观察真实世界后,规定出来的,是不可证的公理。

  • commutative law 交换律:

AUB=BUC,A∩B=B∩A

  • associative law 结合律:

AU(BUC) = (AUB)UC

A∩(B∩C) = (A∩B)∩C

  • distributive law 分配率:

AU(B∩C) = (AUB)∩(AUC)

A∩(BUC) = (A∩B)U(A∩C)

有序集

Ordered Set 集合中的元素可以比大小

Order:(i)x∈S,y∈S,要么x<y,要么x=y,要么x>y。

(ii) if x<y and y<z,then x<z

上界和最小上界

S是一个有序集,E包含于S,如果β∈S,使得对E集合中的任意元素x都有,x≤β,称β为E的上界

α是E的一个上界,如果r<α,则r不是E的上界,则α是E的最小上界。

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类似的,S是一个有序集,E包含于S,如果β∈S,使得对E集合中的任意元素x都有,x≥β,称β为E的下界

α是E的一个下界,如果r>α,则r不是E的下界,则α是E的最大下界。

平方平均 算术平均 几何平均 调和平均(勾股定理,相似,切线)

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圆的切线垂直于过切点的半径

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最小上界性质

如果对于有序集S(元素可比较大小),S的任意子集E非空,E有上界,则E有最小上界,称有序集S具有最小上界性质

Q没有最小上界性质,因为其子集{x|x∈Q and x^2<2}没有最小上界。

定理:确界性定理

如果一个集合具有最小上界性质,那么它也具有最大下界性质

自己的思考

将所有感兴趣的数组成一个集合,这个数集中的所有点挤在一起形成了数轴,数轴的左右或许有或许没有尽头,截取数轴的一小段或许有或许没有尽头。

无尽:没有尽头,假设一个尽头,总能找到尽头之外的东西。

稠密:指定一个点,无法指定邻点,如果指定邻点,总能找到更近的邻点。

自然数是无尽的,但不稠密的;可比数是无尽的,稠密的。

可以分情况讨论:

  1. S集合是不稠密的image-20211216133425295
  2. S集合是稠密的,B有最小元素image-20211216133415787
  3. S集合是稠密的,B没有最小元素img

域Field

域是一个集合,有两个操作 + ·,并且符合域公理(field axioms)

如果元素都是数,这个域称为数域

证明 2x2=4

证明 x+y=x+z=>y=z

有序域

有序集是元素可比较大小的集合,域是元素符合域公理的集合,如果一个集合有序,且符合域公理,且符合

(i)y<z => x+y<x+z

(ii) x>0 and y>0 => xy>0

称该集合为有序域

证明 1>0

实数的构建 Dedekind Cuts

100多年前,实数的存在问题才被戴德金,柯西,康托等人解决。

戴德金分割,构建实数集

Theorem 1.19:There exists an ordered field R which has the least-upper-bound property. Moreover,R contains Q as a subfield. 存在一个有序域R,有最小上界性质,且可比数集是它的子集。

证明共9步,没写完。

证明:第一步,定义实数集合的元素为分割

第二步:定义分割的真包含关系为实数的小于关系,则实数集满足有序集的条件,实数集是一个有序集

第三步,证明实数集有最小上界性质

第四步,证明实数集符合域的加法公理

第五步,证明R符合有序域的性质1

第六步,证明R+满足域的乘法公理,分配律和有序域的性质2

第七步,拓展R满足域的乘法公理和分配律

第八步,定义可比分割与可比数一一对应

第九步,Q是R的真子集

注:完整过程就先不写了,太多了。

自己的思考-数的发展

从朴素的公认的自然数,加减乘除运算;

到古希腊人的尺规作图产生可比数(通过相似);

再到尺规作图产生不可比数(勾股定理或相似);

再到使用集合,有序集合,域,有序域及其公理的定义,构建了数集的公理化体系,使实数集在可比数集之上产生。

实数的阿基米德性质

可比数在实数集合中是稠密的

二、李永乐讲戴德金分割

自然,直观,美!

人们发现可比数之间有空隙,戴德金分割是对可比数集的分割,通过这种分割,找到了所有可比数的空隙——不可比数。定义实数集由所有的可比数及不可比数构成。此时,进行同样的分割,可比数集的空隙(不可比数)已经在实数集中,不会切出不在实数中的数,所以说实数是完备的(连续的)。

可比数

1.什么是可比数?p=m/n,m和n都是整数且n≠0,称p是可比数。

2.可比数的稠密性:任意两个可比数之间有无穷多个可比数。

从数轴的角度看,毕达哥拉斯认为,数轴上的所有点都是可比数,可比数是稠密的,也是连续的 。

3.有理数是不完备的(不连续的)

如何定义不可比数是一个困难的问题,以至于很多年来有很多数学家拒绝承认不可比数是数。

19世纪末20世纪初的时候,轰轰烈烈的数学公理化运动开展之后,它才真正解决了。从第一次发现不可比数,造成第一次数学危机,到不可比数如何定义的问题被解决掉,一共花了两千多年。

数学公理化

从第一次数学危机,人们讨论什么是根号2,第二次数学危机,人们讨论什么是无穷小。人们就觉得数要有基础,你必须告诉我数到底是什么。

通过戴德金的方法——戴德金分割,来思考一下数学的公理化。

1.戴德金分割:

我们认为,数轴上有无穷多个可比数,我们称所有可比数的集合为Q,我们在数轴上切一刀,将可比数集合分成两段,一个是集合A,一个是集合B。

①分割的A与B,A∩B=∅,AUB=Q,即A和B没有重复元素,A和B包含所有的可比数。

②a∈A,b∈B,则a<b,即集合A在集合B的左侧

2.分割结果:

①A中有最大,B中无最小

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②A中无最大,B中有最小

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③A中无最大,B中无最小

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④A中有最大,B中有最小(不存在)

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共有三种情况,在①和②中,切一刀,分割点是可比数,A和B有一个端点是可比数。在③中,切一刀,分割点不是可比数,A和B都无端点,说明这一刀从可比数的空隙钻过去了。怎么填补这个空隙,戴德金说我们定义一种数叫不可比数,不可比数就是可比数的空隙。

3.可比数的全体分割构成实数

4.戴德金推出这样一个定理:对实数进行分割,分割点只有①②两种情况,即A和B有一个端点是实数。切一刀,不可能切出一个其它的数出来,因此实数是完备的(连续的)。

证明0.999…=1

1.分割Q为A和B,定义0.999…(即割点为0.999…),分割Q为C和D,定义1

A={x|x∈Q,x<0.999…},C={x|x∈Q,x<1}

要证明0.999…=1,即证明这两种分割是一样的,即证这两个集合是一样的

2.证明A=C

①设t∈A,则t<0.999…,根据十进制数定义,0.999…不可能比1大,故0.999…≤1,t<0.999…则t<1,即t∈C。故A包含于C。

②设t∈C,t<1,t=q\p<1=>p<q ,p和q∈正整数集

1-t=1-(p/q)=(q-p)/q≥1/q

存在n,使得10^n>q=>1/10^n<1/q

1-t≥1/q>1/10^n => t<1-1/10^n=0.999…9(小数点后n位9)<0.999…,故 t∈A,C包含于A

综上所述,A=C,0.999…=1

三、微积分的基石是什么?陈金次 太长了,东西太多了,而且是倒序讲,为什么不顺序讲呢?虽然很系统,但超出了我能接受的范围,不符合我的口味。

由微积分基本定理来溯源看看

微积分第一基本定理

微积分第二基本定理

问题:

Mean Value Theorem

均值定理(微分)

均值定理(积分)

问题3的回答

连续函数中间值定理,最大最小值定理

连续函数

实数集的上界和最小上界

实数的完备性(completeness of real numbers)(实数无坑无洞)

有理数不具备完备性(有理数坑坑洞洞)

实数完备性的另一陈述

实数的构建 陈金次

什么是实数?

实数为什么有完备性?

1860年 德国数学家 R Dedekin

实数完备性与极限

数学上严格的陈述如下

最大正整数不存在

实数到底是什么?

Dedekind cut 戴德金分割

Dedekind(1831-1916)

1860年 实数的建构

他把可比数分成两个集合,所有的分割产生实数

可比数集合A无最大元素,可比数集合B若有最小元素,则该Cut决定一个可比数,可比数集合若无最小元素,则该Cut决定一个不可比数

Cut处理四则运算稍繁,故后人修改,以有上界的可比增数列来定义实数

加法

well-defined问题

区间套定理

B-W定理

连续函数中间值,最大最小值

均值定理

微积分第一第二定理

四、Stepp学院谈不可比数和极限

不可比数

无理数的发现

毕达哥拉斯:All is number 万物皆数(可比数),认为数轴由无数个可比数构成,没有空隙。

Hippasus:数轴似乎不是只由可比数构成的。image-20211215155008508

如果数轴是只有可比数构成的数轴,那么f(x)=x^2-2与数轴就无交点

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证明根号2是不可比数

代数方法:

几何方法

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可比数不可比数的封闭性和稠密性

可比数的封闭性

可比数加减乘除运算之后还是可比数

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不可比数不具有封闭性

不可比数加减乘除运算之后不一定是不可比数

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可比数的稠密性

两可比数之间总能找到新的可比数

整数就不具有稠密性,因为两个整数之间不总能找到新的整数

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不可比数的稠密性

两不可比数之间总能找到新的不可比数

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极限,x趋于某点时,函数的界限。 左极限,x从左侧趋于某点时,函数的界限。右极限,x从右侧趋于某点时,函数的界限。

切线斜率问题

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求过曲线上一点的切线P的斜率。

使用三角函数可以证明:互相垂直的直线,且直线不在坐标轴上,斜率乘积为-1。

但你不一定知道垂直于切线的直线的斜率。

我们知道,两点确定一条直线,知道两个点的坐标,才能知道直线的斜率,可切线只知道一个点,让人不知道怎么处理才好。

极限的概念就是为了解决这种切线问题所产生的。

退一步,从割线开始思考

假设曲线上有不同于P点的一点Q,则过PQ两点的S为曲线的割线,Q越接近P,割线S就越接近切线T。

当Q点非常非常接近P点的时候,割线S几乎和切线T重叠。也就是说切线T是割线S往切线T逼近的极限,或者说界限(bound)。

我们设法求出割线S的界限,也就找到了切线T。这个求界限的方法,也就是极限概念想要深入探讨的主题。

看5个函数,来认识极限的定义

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x从左趋近1,从右趋近1,看曲线f(x)的行为,也从左从右趋近1/2

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x从左从右趋于1时f(x)的值,无关f(1)的值,f(x)也从左从右趋进1/2

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小结:

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1.x趋于一点时,f(x)趋于的极限值与该点处的值无关。

2.若h(x)和f(x)仅在点a处的值不同,x趋于点a,h(x)和f(x)趋于的极限值相同

3.x趋于点a,f(x)趋于L,等同于,x从左趋点a,f(x)趋于L 且 x从右趋近点a,f(x)趋于L。

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x从左从右趋于0,f(x)从左从右趋于0。

f(x)值域是和定义域中的x一一对应的集合,的左上界和右下界极限为0,定义域从0处分为左右,f(x)也从f(0)=0处分为左右,f(x)左边的最小上界为0,f(x)右边的最小下界为0(实数有最小上界和最小下界)

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x从左侧趋于-1,f(x)在-1左侧无定义,f(x)的值在-1左侧没有行为,故x从左侧趋于-1时,f(x)没有bound(极限),称f(x)没有左极限。

x从右侧趋于-1,f(x)的值趋于0,称x趋于-1,f(x)右极限为0

回到求切线斜率问题

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分子和分母约去x-1后的函数,与m(x)不是同一个函数,但是x趋于1时两函数的界限相同(替代定理)

极限的ε-δ定义

Fermat和Newton使用无穷小量o求切线斜率

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Stepp学院的直观求法

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缺陷

无穷小量o,先是o≠0约分,约分后又说o=0。

定义域中的x,先是x≠1约分,约分后又说x=1。

虽然这样做,最后的结果是对的,应用上也取得成功,但这个做法是有矛盾的。

极限的严谨的定义

Cauchy,Bolzano,weierstrass,Cantor等人给出了极限的严格定义,无穷小量的争议和矛盾才解决了,微积分才可以在一个稳固的基础上做发展。

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δ表示与点a的距离,ε表示与f(a)的误差

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1.将过去的趋近,逼近,靠近这样的动态描述,用ε和δ两个常数来静态的描述。

2.过去是现有x趋于点a,才有x趋于点a,f(x)的界限为L。变成了先有y轴上的误差范围ε,再有x轴上的距离范围δ。所以对于任意的ε,只要可以找到满足条件的δ,这个定义就保证,x趋于点a时函数的极限值存在。

3.在这个定义里面很清楚的规定了,x≠a,x与a相距δ

使用极限的严格定义,证明某函数的x趋于点a的极限为L

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补充:函数在某点处极限存在,连续,可导

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五、林群院士谈微积分

假传万卷书,真传一案例。高铁瞬时速度,某一时刻计算速度是不行的,因为时间为0,路程也为0,速度为 0比0。必须有很小的一段时间,才有路程,才有路程比时间,尽管速度会发生很小的变化,但变化可以忽略掉。

六、中科大 李柏坚

极限

数列的极限

n取的值越大(与无穷大的距离越小),an的值与的0差距越小。另一种说法是当n趋于0时,an的值趋于0,这种说法使人感觉n是随时间运动的,n随着时间变大,an随着n变大而变小,不如第一种说法,只是静态地取一个值,没有时间和运动的感觉。

函数的极限

自变量取的值与某数的距离越小(但不与该数相等),函数(含变数之数)与极限值的距离越小。

极限的严格定义

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Given epsilon>0,choose δ=…,if 0<|x-c|<δ, => |f(x)-L|c, f(x)->L(x的取值于c的距离越小,f(x)的值与L的距离越小)

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极限的证明

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极限的通常求法

中间值定理

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衍生的Bozano定理

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也叫勘根定理

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连续和可微

连续

若f(x)在点a处连续,则f(a)=lim_{x->a}f(x)

可微

若f(x)在点a处可微,则lim_{x->a}f(x)-f(a)/x-a存在

可微=>连续

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连续!=>可微

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均值定理

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f是一个可微的函数,两点a,b构成的割线的斜率与过其中一点c的切线斜率相等

衍生的洛尔定理

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柯西均值定理,使用洛尔定理证明

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洛必达法则

右极限的证明

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左极限同理。